x 0 के लिए फलनों f_{1}(x) = x और f_{2}(x) = | vedclass

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Question

(C) माना $g(x) = f_{2}(x) - f_{1}(x) = 2 + \ln x - x$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम $g(x) = 0$ को हल करते हैं।अवकलन $g'(x) = \frac{1}{x}

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$(0, 1)$ में एक बार और $(e, e^{2})$ में एक बार

Vedclass · Answer

(C) माना $g(x) = f_{2}(x) - f_{1}(x) = 2 + \ln x - x$ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम $g(x) = 0$ को हल करते हैं।अवकलन $g'(x) = \frac{1}{x} - 1 = \frac{1-x}{x}$ है।$x \in (0, 1)$ के लिए $g'(x) > 0$ और $x > 1$ के लिए $g'(x) अतः, $g(x)$ का $x = 1$ पर स्थानीय उच्चतम मान है।उच्चतम मान $g(1) = 2 + \ln(1) - 1 = 1 > 0$ है।जैसे $x 	o 0^{+}$, $g(x) 	o -\infty$। चूँकि $g(1) > 0$, $(0, 1)$ में एक मूल है।जैसे $x 	o \infty$, $g(x) 	o -\infty$। चूँकि $g(1) > 0$, $(1, \infty)$ में एक मूल है।$x = e^{2}$ पर मान लेने पर, $g(e^{2}) = 2 + \ln(e^{2}) - e^{2} = 4 - e^{2} चूँकि $g(1) > 0$ और $g(e^{2}) विशेष रूप से, $g(e) = 3 - e > 0$ है, इसलिए मूल $(e, e^{2})$ में है।

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+\|x-1\|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

$x > 0$ के लिए फलनों $f_{1}(x) = x$ और $f_{2}(x) = 2 + \ln x$ पर विचार करें। इन फलनों के आलेख कहाँ प्रतिच्छेद करते हैं?

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$\frac{1}{e^{3x}}(e^x + e^{5x}) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + \ldots$
$\Rightarrow 2a_1 + 2^3a_3 + 2^5a_5 + \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = \begin{cases} |x - 3| & x \geqslant 1 \\ \frac{x^2}{4} - \frac{3x}{2} + \frac{13}{4} & x < 1 \end{cases}$ है :

फलन $f(x) = \cos^{-1}\left(\sin \sqrt{\frac{1+x}{2}}\right) + x^x$ का $x$ के सापेक्ष $x=1$ पर प्रथम अवकलज क्या है?

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