रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:-x+y+ | vedclass

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Question

(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \ 3 & -a & 5 \ 2 & -2 & -a \end{vmatrix}$ है।पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:

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$n(S_{1})=2, n(S_{2})=0$

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(C) गुणांक आव्यूह का सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \ 3 & -a & 5 \ 2 & -2 & -a \end{vmatrix}$ है।पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$\Delta = -1(a^2 + 10) - 1(-3a - 10) + 2(-6 + 2a)$$= -a^2 - 10 + 3a + 10 - 12 + 4a = -a^2 + 7a - 12 = -(a-3)(a-4)$.प्रणाली के असंगत होने या अनंत हल होने के लिए,हमारे पास $\Delta = 0$ होना चाहिए,जो $a = 3$ या $a = 4$ देता है।अब,$\Delta_1 = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \ 1 & -a & 5 \ 7 & -2 & -a \end{vmatrix}$ की गणना करें।$\Delta_1 = 0(a^2 + 10) - 1(-a - 35) + 2(-2 + 7a) = a + 35 - 4 + 14a = 15a + 31$.$a = 3$ के लिए,$\Delta_1 = 15(3) + 31 = 76 
eq 0$.$a = 4$ के लिए,$\Delta_1 = 15(4) + 31 = 91 
eq 0$.चूंकि $a=3$ और $a=4$ दोनों के लिए $\Delta = 0$ और $\Delta_1 
eq 0$ है,इसलिए प्रणाली इन मानों के लिए असंगत है। अतः,$S_1 = \{3, 4\}$ और $n(S_1) = 2$.अनंत हलों के लिए,हमें $\Delta = 0$ और $\Delta_1 = \Delta_2 = \Delta_3 = 0$ की आवश्यकता है। चूंकि $a=3$ और $a=4$ के लिए $\Delta_1 
eq 0$ है,इसलिए $a$ का कोई ऐसा मान नहीं है जिसके लिए प्रणाली के अनंत हल हों। अतः,$S_2 = \emptyset$ और $n(S_2) = 0$।

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यदि समीकरणों के निकाय
$2x + 7y + \lambda z = 3$
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के अनंत हल हैं,तो $(\lambda - \mu)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि समीकरणों के निकाय $x+y+z=6$,$2x+5y+\alpha z=\beta$,और $x+2y+3z=14$ के अनंत हल हैं,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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