int frac{x}{(x - 2)(x - 1)} , dx का सही मूल्य | vedclass

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Question

(A) समाकलन $\int \frac{x}{(x - 2)(x - 1)} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं।माना $\frac{x}{(x - 2)(x - 1)} = \frac

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$\log_e \frac{(x - 2)^2}{(x - 1)} + p$

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(A) समाकलन $\int \frac{x}{(x - 2)(x - 1)} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हैं।माना $\frac{x}{(x - 2)(x - 1)} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 1}$ है।$(x - 2)(x - 1)$ से गुणा करने पर,हमें $x = A(x - 1) + B(x - 2)$ प्राप्त होता है।$x = 1$ रखने पर,$1 = B(1 - 2) \implies B = -1$ प्राप्त होता है।$x = 2$ रखने पर,$2 = A(2 - 1) \implies A = 2$ प्राप्त होता है।अतः,$\int \frac{x}{(x - 2)(x - 1)} \, dx = \int \left( \frac{2}{x - 2} - \frac{1}{x - 1} \right) \, dx$ है।प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $2 \log_e |x - 2| - \log_e |x - 1| + p$ प्राप्त होता है।लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर,यह $\log_e \frac{(x - 2)^2}{|x - 1|} + p$ में सरल हो जाता है।

$\int \frac{x}{(x - 2)(x - 1)} \, dx$ का सही मूल्यांकन क्या है? (जहाँ $p$ एक स्वेच्छ अचर है):

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$\int \frac{dx}{x - x^2} = $

यदि $\int \frac{2 x^2}{\left(2 x^2+\alpha\right)\left(x^2+5\right)} d x=\frac{\sqrt{5}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{5}}-\frac{\sqrt{2}}{3} \tan ^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}+c$ है, तो $\alpha=$

$\int \frac{e^x}{(2+e^x)(e^x+1)} dx =$ (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है।)

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