$\theta$ झुकाव वाले नत समतल (inclined plane) पर बिना फिसले लुढ़कते हुए पिंड की गतिज ऊर्जा और वेग के लिए व्यंजक व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) मान लीजिए $m$ द्रव्यमान,अपनी ज्यामितीय अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण $I$,घूर्णन त्रिज्या $k$ और ज्यामितीय त्रिज्या $R$ वाला एक पिंड $\theta$ झुकाव और $h$ ऊँचाई वाले नत समतल पर बिना फिसले लुढ़क रहा है।
चूंकि पिंड बिना फिसले लुढ़क रहा है,इसलिए इसका द्रव्यमान केंद्र $v_{cm}$ रैखिक वेग से चलता है और पिंड अपनी अक्ष पर $\omega$ कोणीय वेग से घूमता है। पिंड की गति स्थानांतरण और घूर्णन का संयोजन है।
पिंड की कुल गतिज ऊर्जा $K$ इस प्रकार है:
$K = K_{\text{translational}} + K_{\text{rotational}}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
यहाँ $I = m k^{2}$ और बिना फिसले लुढ़कने की शर्त $v_{cm} = R \omega$ है,इसलिए $\omega = \frac{v_{cm}}{R}$ होगा।
इन मानों को गतिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} (m k^{2}) \left( \frac{v_{cm}}{R} \right)^{2}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
यह लुढ़कते हुए पिंड की कुल गतिज ऊर्जा का सूत्र है।
तली पर वेग ज्ञात करने के लिए,हम ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं। शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा तली पर कुल गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$m g h = K$
$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^{2} = \frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}}$