ઢાળ $\theta$ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા પદાર્થ માટે ગતિઊર્જા અને વેગના સમીકરણો મેળવો.

(N/A) $m$ દળ,તેની ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $k$ અને ભૌમિતિક ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતો પદાર્થ $\theta$ ખૂણો અને $h$ ઊંચાઈ ધરાવતા ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડે છે.
પદાર્થ સરક્યા વિના ગબડતો હોવાથી,તેનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $v_{cm}$ વેગથી ગતિ કરે છે અને પદાર્થ તેની અક્ષ પર $\omega$ કોણીય વેગથી ફરે છે. પદાર્થની ગતિ એ સ્થાનાંતર અને ચાકગતિનું સંયોજન છે.
પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જા $K$ નીચે મુજબ છે:
$K = K_{\text{translational}} + K_{\text{rotational}}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} I \omega^{2}$
અહીં $I = m k^{2}$ અને સરક્યા વિના ગબડવાની શરત $v_{cm} = R \omega$ હોવાથી,$\omega = \frac{v_{cm}}{R}$ થાય.
આ કિંમતો ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} + \frac{1}{2} (m k^{2}) \left( \frac{v_{cm}}{R} \right)^{2}$
$K = \frac{1}{2} m v_{cm}^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
આ ગબડતા પદાર્થની કુલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર છે.
તળિયે વેગ શોધવા માટે,આપણે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. ટોચ પરની સ્થિતિઊર્જા તળિયે કુલ ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$m g h = K$
$m g h = \frac{1}{2} m v^{2} \left( 1 + \frac{k^{2}}{R^{2}} \right)$
$v$ માટે ઉકેલતા:
$v^{2} = \frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}$
$v = \sqrt{\frac{2 g h}{1 + \frac{k^{2}}{R^{2}}}}$