निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषा एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है या नहीं। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य बताइए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है,जो $a ^* b = a - b$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित कीजिए कि क्या संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

द्वि-संक्रियाओं $^*: R \times R \rightarrow R$ और $o: R \times R \rightarrow R$ पर विचार करें,जो $a \,^*\, b = |a-b|$ और $a \,o\, b = a$,$\forall \, a, b \in R$ के रूप में परिभाषित हैं। सिद्ध कीजिए कि $^*$ क्रमविनिमेय है लेकिन साहचर्य नहीं है,और $o$ साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसके अतिरिक्त,सिद्ध कीजिए कि $\forall \, a, b, c \in R, a \,^*\, (b \,o\, c) = (a \,^*\, b) \,o\, (a \,^*\, c)$। [यदि ऐसा है,तो हम कहते हैं कि संक्रिया $^*$ संक्रिया $o$ पर वितरित होती है]। क्या $o$,$^*$ पर वितरित होता है? अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए।

दर्शाइए कि $\{1, 2\}$ पर $1$ को तत्समक (identity) और $2$ को $2$ का प्रतिलोम (inverse) मानने वाली द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या केवल एक है।

यदि $A = \{a, b, c\}$ है,तो $A$ पर द्वि-आधारी संक्रियाओं (binary operations) की संख्या है

गुणन के अंतर्गत समूह $G = \{2^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ का निम्नलिखित में से कौन सा उपसमूह है?