मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है,जो $a ^* b = a - b$ द्वारा परिभाषित है। निर्धारित कीजिए कि क्या संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

$Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = a - b$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$1$. क्रमविनिमेयता (Commutativity):
संक्रिया के क्रमविनिमेय होने के लिए,सभी $a, b \in Q$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ होना चाहिए।
$a = \frac{1}{2}$ और $b = \frac{1}{3}$ लें।
$\frac{1}{2} ^* \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3 - 2}{6} = \frac{1}{6}$
$\frac{1}{3} ^* \frac{1}{2} = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 - 3}{6} = -\frac{1}{6}$
चूंकि $\frac{1}{6} \neq -\frac{1}{6},$ इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$2$. साहचर्य (Associativity):
संक्रिया के साहचर्य होने के लिए,सभी $a, b, c \in Q$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ होना चाहिए।
$a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ लें।
$(a ^* b) ^* c = (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} ^* \frac{1}{4} = \frac{1}{6} - \frac{1}{4} = \frac{2 - 3}{12} = -\frac{1}{12}$
$a ^* (b ^* c) = \frac{1}{2} ^* (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} ^* \frac{1}{12} = \frac{1}{2} - \frac{1}{12} = \frac{6 - 1}{12} = \frac{5}{12}$
चूंकि $-\frac{1}{12} \neq \frac{5}{12},$ इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।