सिद्ध कीजिए कि घटाव और भाग प्राकृत संख्याओं के समुच्चय $N$ पर द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) नहीं हैं।

समुच्चय $S$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ एक फलन $*: S \times S \rightarrow S$ है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक युग्म $(a, b) \in S \times S$ के लिए,परिणाम $a * b$ भी $S$ में होना चाहिए।
$1$. $N$ पर घटाव $(-)$ के लिए:
मान लीजिए अवयव $a = 3$ और $b = 5$ हैं,जहाँ $3, 5 \in N$ है।
संक्रिया $a - b$ करने पर $3 - 5 = -2$ प्राप्त होता है।
चूँकि $-2 \notin N$,इसलिए घटाव $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।
$2$. $N$ पर भाग $(\div)$ के लिए:
मान लीजिए अवयव $a = 3$ और $b = 5$ हैं,जहाँ $3, 5 \in N$ है।
संक्रिया $a \div b$ करने पर $3 \div 5 = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\frac{3}{5} \notin N$,इसलिए भाग $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है।