निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?

एक समूह $(G, *)$ में,$G$ के किसी अवयव $a$ के लिए,यदि $a^{2}=e$ है,जहाँ $e$ तत्समक अवयव है,तो

हम सभी $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूहों के समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध $\sim$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं: $A \sim B$ यदि और केवल यदि ऐसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह $P$ और $Q$ मौजूद हैं कि $B = P A Q^{-1}$। यह द्विआधारी संबंध $\sim$ है

सिद्ध कीजिए कि योग, व्यवकलन और गुणन $R$ पर द्विआधारी संक्रियाएँ (binary operations) हैं, लेकिन भाग $R$ पर द्विआधारी संक्रिया नहीं है। इसके अतिरिक्त, सिद्ध कीजिए कि भाग शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R_*$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है।

मान लीजिए कि $^*$ परिमेय संख्याओं के समुच्चय $Q$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है,जो $a \,^* \,b = a^{2} + b^{2}$ के रूप में परिभाषित है। निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ पर निम्नलिखित गुणन सारणी द्वारा दी गई द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। क्या $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है?
(संकेत: निम्नलिखित सारणी का उपयोग करें)