નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a ^* b = a$ અને $b$ નો લ.સા.અ. ($L$.$C$.$M$.) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $N$ ના કયા ઘટકો $^*$ ક્રિયા માટે વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે શોધો.

ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર નીચે આપેલા ગુણાકાર કોષ્ટક દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ ક્રિયા $*$ ધ્યાનમાં લો. $(2 \,^* \,3) \,^* \,(4 \,^* \,5)$ ની ગણતરી કરો.
(સૂચના: નીચે આપેલા કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરો)

સાબિત કરો કે $R$ પર સરવાળા માટે $0$ તટસ્થ ઘટક છે અને $R$ પર ગુણાકાર માટે $1$ તટસ્થ ઘટક છે. પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div : R_* \times R_* \rightarrow R_*$ ક્રિયાઓ માટે કોઈ તટસ્થ ઘટક નથી.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યા દ્વિ-ક્રિયા (binary operation) છે કે નહીં તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્વિ-ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $R$ પર,$*$ ને $a * b = ab^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Z^+$ પર,$a ^* b = 2^{ab}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.