एक समूह $(G, *)$ में,$G$ के किसी अवयव $a$ के लिए,यदि $a^{2}=e$ है,जहाँ $e$ तत्समक अवयव है,तो

पूर्णांकों के समुच्चय $(Z, *)$ में,यदि $a * b = a + b - n, \forall a, b \in Z$ है,जहाँ $n$ एक निश्चित पूर्णांक है,तो $(-n)$ का प्रतिलोम (inverse) क्या है:

यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है जो $R$ पर $a * b = 1 + ab, \forall a, b \in R$ द्वारा परिभाषित है,तो संक्रिया $*$ है:

मान लीजिए कि $^*$ $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a ^* b = a$ और $b$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) द्वारा दी गई है। ज्ञात कीजिए कि $N$ के कौन से अवयव संक्रिया $^*$ के लिए व्युत्क्रमणीय हैं?

$Q^{+}$ के सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं के समूह में द्वि-आधारी संक्रिया $*$ जो $a * b = \frac{ab}{2010}, \forall a, b \in Q^{+}$ द्वारा परिभाषित है,में $2010$ का प्रतिलोम क्या है?

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,द्वि-आधारी संक्रिया $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ पर विचार करें जो सभी $A, B \in P(X)$ के लिए $A \,^*\, B = A \cap B$ द्वारा परिभाषित है,जहाँ $P(X)$,$X$ का घात समुच्चय है। सिद्ध कीजिए कि $X$ इस संक्रिया के लिए तत्समक अवयव है और $X$ इस संक्रिया के सापेक्ष $P(X)$ में एकमात्र व्युत्क्रमणीय अवयव है।