यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है जो $R$ पर $a * b = 1 + ab, \forall a, b \in R$ द्वारा परिभाषित है,तो संक्रिया $*$ है:

किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के लिए,$a * b = 1 + ab$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $*$ है

समुच्चय $R - \{-1\}$ पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,जहाँ $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ है,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है।

एक अरिक्त समुच्चय $X$ दिया गया है,मान लीजिए $^*: P(X) \times P(X) \rightarrow P(X)$ को $A \,^*\, B = (A - B) \cup (B - A)$,$\forall A, B \in P(X)$ के रूप में परिभाषित किया गया है। सिद्ध कीजिए कि रिक्त समुच्चय $\Phi$ संक्रिया $^*$ के लिए तत्समक है और $P(X)$ के सभी अवयव $A$,$A^{-1} = A$ के साथ व्युत्क्रमणीय हैं।

सभी शून्येतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर,एक संक्रिया $*$ को $a * b = \frac{3ab}{2}$ के रूप में परिभाषित किया गया है। इस समूह में,$(2 * x) * 3^{-1} = 4^{-1}$ का हल है

समूह $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ में $\otimes_{7}$ के अंतर्गत,$4 \otimes_{7} x = 5$ का हल क्या है?