समुच्चय $R - \{-1\}$ पर परिभाषित द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,जहाँ $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ है,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है।

द्विआधारी संक्रिया $a, b \in R - \{-1\}$ के लिए $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ के रूप में परिभाषित है।
$1$. क्रमविनिमेयता (Commutativity):
यह जांचने के लिए कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है,हम $a ^* b$ और $b ^* a$ की तुलना करते हैं।
$a ^* b = \frac{a}{b+1}$
$b ^* a = \frac{b}{a+1}$
चूंकि सामान्यतः $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ (उदाहरण के लिए,$a=1, b=2$ लेने पर,$1 ^* 2 = \frac{1}{3}$ और $2 ^* 1 = \frac{2}{2} = 1$),इसलिए संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय नहीं है।
$2$. साहचर्यता (Associativity):
यह जांचने के लिए कि क्या $^*$ साहचर्य है,हम $(a ^* b) ^* c$ और $a ^* (b ^* c)$ की तुलना करते हैं।
$(a ^* b) ^* c = (\frac{a}{b+1}) ^* c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{b}{c+1}) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a}{\frac{b+c+1}{c+1}} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
चूंकि सामान्यतः $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$ (उदाहरण के लिए,$a=1, b=2, c=3$ लेने पर,$(1 ^* 2) ^* 3 = \frac{1}{(3)(4)} = \frac{1}{12}$ और $1 ^* (2 ^* 3) = \frac{1(4)}{2+3+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$),इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य नहीं है।