किन्हीं दो वास्तविक संख्याओं के लिए,$a * b = 1 + ab$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $*$ है

समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ को $a \,^* \, b = \begin{cases} a+b, & \text{यदि } a+b < 6 \\ a+b-6, & \text{यदि } a+b \geq 6 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित कीजिए। सिद्ध कीजिए कि $0$ इस संक्रिया के लिए तत्समक है और समुच्चय का प्रत्येक अवयव $a \neq 0$ व्युत्क्रमणीय है,जहाँ $6-a$ अवयव $a$ का प्रतिलोम है।

निर्धारित कीजिए कि समुच्चय $N$ पर निम्नलिखित में से कौन सी द्विआधारी संक्रियाएँ साहचर्य हैं और कौन सी क्रमविनिमेय हैं। $a * b = \frac{a+b}{2}$,जहाँ $a, b \in N$.

मान लीजिए कि $*$ समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित करें कि क्या $a, b \in Q$ के लिए $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है।

निर्धारित कीजिए कि समुच्चय $N$ पर निम्नलिखित में से कौन सी द्विआधारी संक्रियाएँ साहचर्य हैं और कौन सी क्रमविनिमेय हैं: $a \ast b = 1$,सभी $a, b \in N$ के लिए।

दर्शाइए कि $\{1, 2\}$ पर $1$ को तत्समक (identity) और $2$ को $2$ का प्रतिलोम (inverse) मानने वाली द्विआधारी संक्रियाओं की संख्या केवल एक है।