એક જૂથ $(G, *)$ માં,$G$ ના કોઈ ઘટક $a$ માટે,જો $a^{2}=e$ હોય,જ્યાં $e$ એ તટસ્થ ઘટક છે,તો

આપેલ ક્રિયાના સંદર્ભમાં નીચેનામાંથી કયું જૂથ (group) નથી?

ગણ $N$ પર નીચેનામાંથી કઈ દ્વિતીય ક્રિયાઓ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે અને કઈ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તે નક્કી કરો: $a \ast b = 1$,દરેક $a, b \in N$ માટે.

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે? શું $^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે? શું $N$ પર આ દ્વિ-ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવે છે?

ધારો કે $*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા છે. $a, b \in Q$ માટે $a * b = a + ab$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત દ્વિ-ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે નક્કી કરો.

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \,^* \,b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $5 \,^* \,7$ અને $20 \,^* \,16$ શોધો.