ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે? શું $^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે? શું $N$ પર આ દ્વિ-ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવે છે?

(N/A) $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા $^*$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}$
$1$. ક્રમનો નિયમ:
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $a, b \in N$ માટે $a$ અને $b$ નો $\text{ગુ.સા.અ.}$ એ $b$ અને $a$ ના $\text{ગુ.સા.અ.}$ જેટલો જ હોય છે.
તેથી,$a \,^*\, b = b \,^*\, a$.
આમ,ક્રિયા $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
$2$. જૂથનો નિયમ:
$a, b, c \in N$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(a \,^*\, b) \,^*\, c = (a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}) \,^*\, c = a, b, c \text{ નો ગુ.સા.અ.}$
$a \,^*\, (b \,^*\, c) = a \,^*\, (b \text{ અને } c \text{ નો ગુ.સા.અ.}) = a, b, c \text{ નો ગુ.સા.અ.}$
કારણ કે $(a \,^*\, b) \,^*\, c = a \,^*\, (b \,^*\, c)$,તેથી ક્રિયા $^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે.
$3$. તટસ્થ ઘટક:
જો તમામ $a \in N$ માટે $a \,^*\, e = a = e \,^*\, a$ થાય,તો $e \in N$ ને $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક કહેવાય.
આનો અર્થ એ થાય કે $\text{ગુ.સા.અ.}(a, e) = a$,જેનો અર્થ છે કે દરેક $a \in N$ માટે $a$ એ $e$ નો ભાજક હોવો જોઈએ. $N$ માં એવો કોઈ નિશ્ચિત ઘટક $e$ નથી જે દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાનો ગુણક હોય,તેથી આ ક્રિયા માટે કોઈ તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.