ધારો કે $^*$ એ સંમેય સંખ્યાઓના ગણ $Q$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે,જે $a \,^*\, b = a b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. નક્કી કરો કે આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ અને જૂથનો નિયમ પાળે છે કે નહીં.

ગણ $Q$ પર,ક્રિયા $^*$ ને $a \,^*\, b = a b^{2}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે.
ક્રમનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે $a \,^*\, b$ અને $b \,^*\, a$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
$Q$ માં $a = \frac{1}{2}$ અને $b = \frac{1}{3}$ લો.
$\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$.
$\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \times (\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$.
$\frac{1}{18} \neq \frac{1}{12}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.
જૂથનો નિયમ ચકાસવા માટે,આપણે $(a \,^*\, b) \,^*\, c$ અને $a \,^*\, (b \,^*\, c)$ ની સરખામણી કરીએ છીએ.
$Q$ માં $a = \frac{1}{2}, b = \frac{1}{3}, c = \frac{1}{4}$ લો.
$(\frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{3}) \,^*\, \frac{1}{4} = (\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3})^{2}) \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \,^*\, \frac{1}{4} = \frac{1}{18} \times (\frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{18 \times 16} = \frac{1}{288}$.
$\frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \,^*\, \frac{1}{4}) = \frac{1}{2} \,^*\, (\frac{1}{3} \times (\frac{1}{4})^{2}) = \frac{1}{2} \,^*\, \frac{1}{48} = \frac{1}{2} \times (\frac{1}{48})^{2} = \frac{1}{2 \times 2304} = \frac{1}{4608}$.
$\frac{1}{288} \neq \frac{1}{4608}$ હોવાથી,ક્રિયા $^*$ એ જૂથનો નિયમ પાળતી નથી.