નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ-ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Q$ પર,$a ^* b = \frac{ab}{2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.

(N/A) $Q$ પર,$^*$ ક્રિયા $a ^* b = \frac{ab}{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
ક્રમનો નિયમ:
આપણે જાણીએ છીએ કે તમામ $a, b \in Q$ માટે $ab = ba$ થાય છે.
તેથી,$\frac{ab}{2} = \frac{ba}{2}$,જેનો અર્થ છે કે તમામ $a, b \in Q$ માટે $a ^* b = b ^* a$ થાય છે.
આમ,$^*$ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથનો નિયમ:
તમામ $a, b, c \in Q$ માટે,આપણી પાસે છે:
$(a ^* b) ^* c = (\frac{ab}{2}) ^* c = \frac{(\frac{ab}{2})c}{2} = \frac{abc}{4}$.
તે જ રીતે,$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{bc}{2}) = \frac{a(\frac{bc}{2})}{2} = \frac{abc}{4}$.
તમામ $a, b, c \in Q$ માટે $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ હોવાથી,$^*$ ક્રિયા જૂથનો નિયમ પાળે છે.