नीचे परिभाषित प्रत्येक द्वि-आधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Q$ पर,$a ^* b = \frac{ab}{2}$ परिभाषित करें।

(N/A) $Q$ पर,संक्रिया $^*$ को $a ^* b = \frac{ab}{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
क्रमविनिमेयता:
हम जानते हैं कि सभी $a, b \in Q$ के लिए $ab = ba$ होता है।
इसलिए,$\frac{ab}{2} = \frac{ba}{2}$,जिसका अर्थ है कि सभी $a, b \in Q$ के लिए $a ^* b = b ^* a$ है।
अतः,संक्रिया $^*$ क्रमविनिमेय है।
साहचर्यता:
सभी $a, b, c \in Q$ के लिए,हमारे पास है:
$(a ^* b) ^* c = (\frac{ab}{2}) ^* c = \frac{(\frac{ab}{2})c}{2} = \frac{abc}{4}$.
साथ ही,$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{bc}{2}) = \frac{a(\frac{bc}{2})}{2} = \frac{abc}{4}$.
चूंकि सभी $a, b, c \in Q$ के लिए $(a ^* b) ^* c = a ^* (b ^* c)$ है,इसलिए संक्रिया $^*$ साहचर्य है।