सभी पूर्णांकों के समुच्चय $Z$ पर,संक्रिया $*$ को $a * b = a + b - 5$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $2 * (x * 3) = 5$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $*$ समुच्चय $Q$ पर परिभाषित एक द्विआधारी संक्रिया है। निर्धारित करें कि क्या $a, b \in Q$ के लिए $a * b = a - b$ द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रिया क्रमविनिमेय (commutative) है।

समुच्चय $\{1,2,3,4,5\}$ पर निम्नलिखित गुणन सारणी द्वारा दी गई द्विआधारी संक्रिया $*$ पर विचार करें। क्या $^*$ क्रमविनिमेय (commutative) है?
(संकेत: निम्नलिखित सारणी का उपयोग करें)

दर्शाइए कि $*: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ जो $a * b = a + 2b$ द्वारा परिभाषित है,क्रमविनिमेय (commutative) नहीं है।

समूह $G=\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ में योग मॉड्यूलो $6$ के अंतर्गत,$(2 +_{6} 3^{-1} +_{6} 4)^{-1}$ का मान क्या है?

बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और अपने उत्तर का औचित्य सिद्ध कीजिए: यदि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक क्रमविनिमेय (commutative) द्विआधारी संक्रिया है,तो $a ^* (b ^* c) = (c ^* b) ^* a$.