मान लीजिए कि $^*$ समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a \, ^* \, b = a \text{ और } b \text{ का ल.स.प.}$ द्वारा दी गई है। $N$ में $^*$ के लिए तत्समक अवयव ज्ञात कीजिए।

निर्धारित कीजिए कि नीचे दी गई $*$ की परिभाषाओं में से कौन सी एक द्विआधारी संक्रिया (binary operation) है। यदि $*$ एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है,तो इसका औचित्य दीजिए। $Z^{+}$ पर,$*$ को $a * b = ab$ द्वारा परिभाषित कीजिए।

गुणन के अंतर्गत समूह $G = \{2^{n} \mid n \in \mathbb{Z}\}$ का निम्नलिखित में से कौन सा उपसमूह है?

समुच्चय $\{-1, 0, 1\}$ एक गुणात्मक समूह (multiplicative group) नहीं है,क्योंकि इसमें किस नियम का पालन नहीं होता है?

सिद्ध कीजिए कि $a * b = a + 2b$ द्वारा परिभाषित संक्रिया $*: R \times R \rightarrow R$ साहचर्य (associative) नहीं है।

समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ पर एक द्विआधारी संक्रिया $*$ के लिए निम्नलिखित गुणन सारणी दी गई है। $(2 \,^* \,3) \,^* \,4$ और $2 \,^* \,(3 \,^* \,4)$ का मान ज्ञात कीजिए।
(सारणी ऊपर दी गई है)