ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \, ^* \, b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $N$ માં $^*$ માટે તટસ્થ ઘટક શોધો.

સાબિત કરો કે $+: R \times R \rightarrow R$ અને $\times: R \times R \rightarrow R$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી દ્વિ-ક્રિયાઓ છે,પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div: R_* \times R_* \rightarrow R_*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.

સમૂહ $G = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માં $\otimes_{7}$ હેઠળ,$4 \otimes_{7} x = 5$ નો ઉકેલ શું છે?

નીચેનું વિધાન સત્ય છે કે અસત્ય તે જણાવો અને તમારા જવાબનું સમર્થન કરો: જો $^*$ એ $N$ પર દ્વિ-આધારિત ક્રમ-નિરપેક્ષ (commutative) પ્રક્રિયા હોય,તો $a ^* (b ^* c) = (c ^* b) ^* a$.

સાબિત કરો કે $*: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ જે $a * b = a + 2b$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે ક્રમનો નિયમ પાળતું નથી (not commutative).

જો ક્રિયા $ \oplus $ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $ a $ અને $ b $ માટે $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો $ (2 \oplus 3) \oplus 4 = $