જો $Q^{+}$ પર $a * b = 10ab$ હોય,તો $0.01$ નો વ્યસ્ત શોધો.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યાઓ પૈકી કઈ દ્રીક ક્રિયા (binary operation) છે તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્રીક ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $Z^{+}$ પર,$*$ ને $a * b = ab$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.

ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ પર દ્વિ-ક્રિયા $*$ માટે નીચે મુજબનું ગુણાકાર કોષ્ટક આપેલ છે. $(2 \,^* \,3) \,^* \,4$ અને $2 \,^* \,(3 \,^* \,4)$ ની ગણતરી કરો.
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ છે)

સાબિત કરો કે $\{1, 2\}$ પર $1$ ને તટસ્થ ઘટક (identity) તરીકે અને $2$ ને $2$ ના વ્યસ્ત (inverse) તરીકે ધરાવતી દ્રીકક્રિયાઓની સંખ્યા માત્ર એક જ છે.

સાબિત કરો કે $+: R \times R \rightarrow R$ અને $\times: R \times R \rightarrow R$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી દ્વિ-ક્રિયાઓ છે,પરંતુ $-: R \times R \rightarrow R$ અને $\div: R_* \times R_* \rightarrow R_*$ એ ક્રમનો નિયમ પાળતી નથી.

નીચે આપેલ $*$ ની વ્યાખ્યા દ્વિ-ક્રિયા (binary operation) છે કે નહીં તે નક્કી કરો. જો $*$ દ્વિ-ક્રિયા ન હોય,તો તેનું કારણ આપો. $R$ પર,$*$ ને $a * b = ab^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.