हम सभी 3 times 3 वास्तविक आव्यूहों के समुच्चय | vedclass

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Question

(D) माना संबंध $R = \{(A, B) : B = P A Q^{-1}\}$ के रूप में परिभाषित है, जहाँ $P$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।स्वतुल्यता के लिए: चूँकि $A = I A I^

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एक तुल्यता संबंध

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(D) माना संबंध $R = \{(A, B) : B = P A Q^{-1}\}$ के रूप में परिभाषित है, जहाँ $P$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं।स्वतुल्यता के लिए: चूँकि $A = I A I^{-1}$ जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है (जो व्युत्क्रमणीय है), इसलिए $(A, A) \in R$। अतः, $R$ स्वतुल्य है।सममितता के लिए: माना $(A, B) \in R$। तब $B = P A Q^{-1}$। बाईं ओर $P^{-1}$ और दाईं ओर $Q$ से गुणा करने पर, हमें $P^{-1} B Q = A$ प्राप्त होता है। चूँकि $P^{-1}$ और $Q$ व्युत्क्रमणीय हैं, माना $P' = P^{-1}$ और $Q' = Q^{-1}$। तब $A = P' B (Q')^{-1}$, इसलिए $(B, A) \in R$। अतः, $R$ सममित है।संक्रामकता के लिए: माना $(A, B) \in R$ और $(B, C) \in R$। तब $A = P_1 B Q_1^{-1}$ और $B = P_2 C Q_2^{-1}$। $B$ का मान प्रतिस्थापित करने पर, $A = P_1 (P_2 C Q_2^{-1}) Q_1^{-1} = (P_1 P_2) C (Q_1 Q_2)^{-1}$। चूँकि व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का गुणनफल भी व्युत्क्रमणीय होता है, इसलिए $(A, C) \in R$। अतः, $R$ संक्रामक है।चूँकि $R$ स्वतुल्य, सममित और संक्रामक है, इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।

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