ગણ $N$ પર નીચેનામાંથી કઈ દ્વિ-ક્રિયાઓ જૂથના નિયમનું પાલન કરે છે અને કઈ ક્રમનો નિયમ પાળે છે તે નક્કી કરો. $a * b = \frac{a+b}{2}$,જ્યાં $a, b \in N$.

(N/A) ક્રમના નિયમ માટે,આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b \in N$ માટે $a * b = b * a$ થાય છે.
$a * b = \frac{a+b}{2} = \frac{b+a}{2} = b * a$.
આમ,$a * b = b * a$ હોવાથી,આ ક્રિયા ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
જૂથના નિયમ માટે,આપણે ચકાસીએ છીએ કે શું તમામ $a, b, c \in N$ માટે $(a * b) * c = a * (b * c)$ થાય છે.
$(a * b) * c = \left(\frac{a+b}{2}\right) * c = \frac{\frac{a+b}{2} + c}{2} = \frac{a+b+2c}{4}$.
$a * (b * c) = a * \left(\frac{b+c}{2}\right) = \frac{a + \frac{b+c}{2}}{2} = \frac{2a+b+c}{4}$.
સામાન્ય રીતે $\frac{a+b+2c}{4} \neq \frac{2a+b+c}{4}$ હોવાથી,આ ક્રિયા જૂથના નિયમનું પાલન કરતી નથી.