उत्तल चतुर्भुज $ABCD$ के विकर्ण $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $OA \times OD = OB \times OC$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $AB \parallel CD$.

(N/A) दिया है: चतुर्भुज $ABCD$ में,विकर्ण $AC$ और $BD$ बिंदु $O$ पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि $OA \times OD = OB \times OC$ है।
चरण $1$: दिए गए समीकरण को विकर्णों के खंडों के अनुपात के रूप में व्यवस्थित करने पर: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$।
चरण $2$: $\triangle AOB$ और $\triangle COD$ पर विचार करें। हमारे पास $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (चरण $1$ से) है और $\angle AOB = \angle COD$ (शीर्षाभिमुख कोण) है।
चरण $3$: $SAS$ समरूपता कसौटी के अनुसार,$\triangle AOB \sim \triangle COD$ है।
चरण $4$: चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,इसलिए उनके संगत कोण बराबर होंगे,अतः $\angle OAB = \angle OCD$ और $\angle OBA = \angle ODC$ है।
चरण $5$: ये रेखाओं $AB$ और $CD$ को प्रतिच्छेद करने वाली तिर्यक रेखाओं $AC$ और $BD$ द्वारा निर्मित एकांतर अंतःकोण हैं। चूंकि एकांतर अंतःकोण बराबर हैं,इसलिए $AB \parallel CD$ सिद्ध होता है।