બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના વિકર્ણો $O$ માં છેદે છે. જો $OA \times OD = OB \times OC$ હોય,તો સાબિત કરો કે $AB \parallel CD$.

(N/A) આપેલ છે: ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ બિંદુ $O$ માં એવી રીતે છેદે છે કે જેથી $OA \times OD = OB \times OC$ થાય.
પગલું $1$: આપેલ સમીકરણને વિકર્ણોના રેખાખંડોના ગુણોત્તરના સ્વરૂપમાં ગોઠવતા: $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$.
પગલું $2$: $\triangle AOB$ અને $\triangle COD$ ને ધ્યાનમાં લો. આપણી પાસે $\frac{OA}{OC} = \frac{OB}{OD}$ (પગલું $1$ પરથી) છે અને $\angle AOB = \angle COD$ (અભિકોણો).
પગલું $3$: $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle AOB \sim \triangle COD$.
પગલું $4$: ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન થાય,તેથી $\angle OAB = \angle OCD$ અને $\angle OBA = \angle ODC$.
પગલું $5$: આ રેખાઓ $AB$ અને $CD$ ને છેદતી છેદિકાઓ $AC$ અને $BD$ દ્વારા બનતા યુગ્મકોણો છે. યુગ્મકોણો સમાન હોવાથી,$AB \parallel CD$ સાબિત થાય છે.