$x > 3$ के लिए फलन $x^{x^{2}-3}+(x-3)^{x^{2}}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन कीजिए।
माना $y = x^{x^{2}-3} + (x-3)^{x^{2}}$.
माना $u = x^{x^{2}-3}$ और $v = (x-3)^{x^{2}}$.
तब $y = u + v$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ... $(1)$.
$u = x^{x^{2}-3}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log u = (x^{2}-3) \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = (x^{2}-3) \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot (2x)$.
अतः,$\frac{du}{dx} = x^{x^{2}-3} \left( \frac{x^{2}-3}{x} + 2x \log x \right)$.
$v = (x-3)^{x^{2}}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log v = x^{2} \log (x-3)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x^{2} \cdot \frac{1}{x-3} + \log (x-3) \cdot (2x)$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = (x-3)^{x^{2}} \left( \frac{x^{2}}{x-3} + 2x \log (x-3) \right)$.
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x^{x^{2}-3} \left( \frac{x^{2}-3}{x} + 2x \log x \right) + (x-3)^{x^{2}} \left( \frac{x^{2}}{x-3} + 2x \log (x-3) \right)$ प्राप्त होता है।
माना $u = x^{x^{2}-3}$ और $v = (x-3)^{x^{2}}$.
तब $y = u + v$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ... $(1)$.
$u = x^{x^{2}-3}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log u = (x^{2}-3) \log x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = (x^{2}-3) \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot (2x)$.
अतः,$\frac{du}{dx} = x^{x^{2}-3} \left( \frac{x^{2}-3}{x} + 2x \log x \right)$.
$v = (x-3)^{x^{2}}$ के लिए,दोनों पक्षों का लघुगणक लेने पर: $\log v = x^{2} \log (x-3)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x^{2} \cdot \frac{1}{x-3} + \log (x-3) \cdot (2x)$.
अतः,$\frac{dv}{dx} = (x-3)^{x^{2}} \left( \frac{x^{2}}{x-3} + 2x \log (x-3) \right)$.
इन मानों को $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{dy}{dx} = x^{x^{2}-3} \left( \frac{x^{2}-3}{x} + 2x \log x \right) + (x-3)^{x^{2}} \left( \frac{x^{2}}{x-3} + 2x \log (x-3) \right)$ प्राप्त होता है।
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$(\log x)^{x}$ का $\log x$ के सापेक्ष अवकलज क्या है?
$\text{यदि } \frac{d}{dx} \left( \frac{x^2+1}{(x^2+5)(x^2+9)} \right) = \frac{2x(x^2+1)}{(x^2+5)(x^2+9)} \left[ \frac{1}{f(x)} - \frac{1}{g(x)} - \frac{1}{h(x)} \right] \text{ है, तो } 2h(x) - f(x) - g(x) = $
यदि $y=(1+x)(1+x^2)(1+x^4) \dots (1+x^{2n})$ है,तो $x=0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।
फलन का अवकलज ज्ञात कीजिए: $\frac{d}{dx} \{(\sin x)^{\log x}\}$
Easy
View Solutionयदि $f(x) = x^{\operatorname{Sec}^{-1} x}$ है,तो $f^{\prime}(2) =$
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