$x$ ની સાપેક્ષમાં વિધેય $(\sin x)^{x} + \sin^{-1} \sqrt{x}$ નું વિકલન કરો.

ધારો કે $y = (\sin x)^{x} + \sin^{-1} \sqrt{x}$.
ધારો કે $u = (\sin x)^{x}$ અને $v = \sin^{-1} \sqrt{x}$.
તેથી $y = u + v$,એટલે કે $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ............$(1)$
$u = (\sin x)^{x}$ માટે:
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા,$\log u = x \log(\sin x)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x) \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{d}{dx}(\log(\sin x))$
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log(\sin x) + x \cdot \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x$
$\frac{du}{dx} = (\sin x)^{x} [\log(\sin x) + x \cot x]$ ............$(2)$
$v = \sin^{-1} \sqrt{x}$ માટે:
સાંકળના નિયમનો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\sqrt{x})^2}} \cdot \frac{d}{dx}(\sqrt{x})$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$ ............$(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{x} (x \cot x + \log(\sin x)) + \frac{1}{2\sqrt{x - x^2}}$.