निम्नलिखित फलनों की सांतत्यता पर चर्चा कीजिए:
a) $f(x) = \sin x + \cos x$
b) $f(x) = \sin x - \cos x$
c) $f(x) = \sin x \times \cos x$

(A) हम जानते हैं कि यदि $g$ और $h$ दो संतत फलन हैं,तो $g+h$,$g-h$ और $g \cdot h$ भी संतत होते हैं।
सबसे पहले,हम सिद्ध करेंगे कि $g(x) = \sin x$ और $h(x) = \cos x$ संतत फलन हैं।
$g(x) = \sin x$ के लिए:
$g(x)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + h$ रखें। जब $x \to c$,तब $h \to 0$.
$g(c) = \sin c$.
$\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{h \to 0} \sin(c + h) = \lim_{h \to 0} (\sin c \cos h + \cos c \sin h) = \sin c(1) + \cos c(0) = \sin c$.
चूंकि $\lim_{x \to c} g(x) = g(c)$,इसलिए $g(x)$ संतत है।
$h(x) = \cos x$ के लिए:
$h(x)$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए परिभाषित है। मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है। $x = c + h$ रखें। जब $x \to c$,तब $h \to 0$.
$h(c) = \cos c$.
$\lim_{x \to c} h(x) = \lim_{h \to 0} \cos(c + h) = \lim_{h \to 0} (\cos c \cos h - \sin c \sin h) = \cos c(1) - \sin c(0) = \cos c$.
चूंकि $\lim_{x \to c} h(x) = h(c)$,इसलिए $h(x)$ संतत है।
निष्कर्ष:
a) $f(x) = g(x) + h(x) = \sin x + \cos x$ एक संतत फलन है।
b) $f(x) = g(x) - h(x) = \sin x - \cos x$ एक संतत फलन है।
c) $f(x) = g(x) \cdot h(x) = \sin x \cos x$ एक संतत फलन है।