$5.9\,cm$ लंबाई का $\overline{ AB }$ खींचिए और इसे $A$ से $5: 7$ के अनुपात में विभाजित कीजिए।

(N/A) डेटा: $5.9\,cm$ लंबाई का $\overline{ AB }$ दिया गया है।
रचना: $\overline{ AB }$ को $A$ से $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करना है।
रचना के चरण:
$(1)$ $\overleftrightarrow{ AB }$ के विभिन्न अर्धतलों में $\overline{ AB }$ को समाहित करते हुए,$\overrightarrow{ AX }$ और $\overrightarrow{ BY }$ इस प्रकार खींचिए कि $\angle XAB$ और $\angle YBA$ सर्वांगसम न्यून कोण हों।
$(2)$ उपयुक्त त्रिज्या और केंद्र $A$ लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए। इसी प्रकार,केंद्र $A_{1}$ और समान त्रिज्या लेकर,$\overrightarrow{ AX }$ को $A_{2}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए एक चाप खींचिए ताकि $A-A_{1}-A_{2}$ हो। इसी प्रकार,समान त्रिज्या और केंद्र $A_{k}$ लेकर $\overrightarrow{ AX }$ को $A_{k+1}$ पर प्रतिच्छेद करने के लिए चाप खींचिए ताकि $A_{k-1}-A_{k}-A_{k+1}$ हो,जहाँ $k=2, 3, 4$ है। इस प्रकार,हमें $\overrightarrow{ AX }$ पर पाँच बिंदु $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ और $A_{5}$ प्राप्त होते हैं ताकि $AA_{1} = A_{1}A_{2} = A_{2}A_{3} = A_{3}A_{4} = A_{4}A_{5}$ हो।
$(3)$ अब,समान त्रिज्या और केंद्र $B$ से शुरू करके,$\overrightarrow{ BY }$ पर सात बिंदु $B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}, B_{6}$ और $B_{7}$ प्राप्त कीजिए ताकि $BB_{1} = B_{1}B_{2} = \dots = B_{6}B_{7}$ हो।
$(4)$ $\overline{A_{5}B_{7}}$ खींचिए जो $\overline{ AB }$ को $M$ पर प्रतिच्छेद करे।
इस प्रकार,$M \in \overline{ AB }$ वह बिंदु है जो $\overline{ AB }$ को $5: 7$ के अनुपात में विभाजित करता है।
औचित्य: यहाँ $\frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$ है। चूँकि $\overrightarrow{AX} \parallel \overrightarrow{BY}$,$\Delta AA_{5}M$ और $\Delta BB_{7}M$ के बीच पत्राचार $AA_{5}M \leftrightarrow BB_{7}M$ एक समरूपता है।
$\therefore \frac{AM}{BM} = \frac{AA_{5}}{BB_{7}} = \frac{5}{7}$.