વિધેય $f$ ની સાતત્યતા તપાસો,જ્યાં $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{જો } x \neq 0 \\ -1, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.

(A) આપેલ વિધેય $f$ આ મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} \sin x - \cos x, & \text{જો } x \neq 0 \\ -1, & \text{જો } x = 0 \end{cases}$.
તે સ્પષ્ટ છે કે $f$ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાના તમામ બિંદુઓ પર વ્યાખ્યાયિત છે.
ધારો કે $c$ એ કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા છે.
કિસ્સો $I$: જો $c \neq 0$ હોય,તો $f(c) = \sin c - \cos c$.
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (\sin x - \cos x) = \sin c - \cos c$.
કારણ કે $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$,તેથી $f$ એ $x \neq 0$ હોય તેવા તમામ બિંદુઓ પર સતત છે.
કિસ્સો $II$: જો $c = 0$ હોય,તો $f(0) = -1$.
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$.
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0} (\sin x - \cos x) = \sin 0 - \cos 0 = 0 - 1 = -1$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = -1$,તેથી $f$ એ $x = 0$ પર સતત છે.
ઉપરોક્ત અવલોકનો પરથી,$f$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા રેખાના દરેક બિંદુ પર સતત છે.