$5005$ ને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ગુણાકાર તરીકે દર્શાવો.

દર્શાવો કે દરેક ધન યુગ્મ પૂર્ણાંક $2q$ સ્વરૂપમાં હોય છે,અને દરેક ધન અયુગ્મ પૂર્ણાંક $2q+1$ સ્વરૂપમાં હોય છે,જ્યાં $q$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.

સંમેય સંખ્યા $\frac{64}{455}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત આવૃત છે તે નક્કી કરો. જો તે શાંત હોય,તો તેનું દશાંશ નિરૂપણ લખો.

એક મીઠાઈવાળા પાસે $420$ કાજુ બરફી અને $130$ બદામ બરફી છે. તે એવી રીતે થપ્પીઓ બનાવવા માંગે છે કે દરેક થપ્પીમાં સમાન સંખ્યા હોય અને તે ટ્રેમાં ઓછામાં ઓછી જગ્યા રોકે. આ હેતુ માટે દરેક થપ્પીમાં કેટલી બરફી મૂકી શકાય?

લાંબી ભાગાકારની પ્રક્રિયા કર્યા વગર,જણાવો કે નીચે આપેલી સંમેય સંખ્યાનું દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે કે અનંત આવૃત છે: $\frac{64}{455}$.

સાબિત કરો કે $5-\sqrt{3}$ અસંમેય છે.