आव्यूह $B=\left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$ को एक सममित और एक विषम सममित आव्यूह के योग के रूप में व्यक्त कीजिए।

किसी भी वर्ग आव्यूह $B$ को एक सममित आव्यूह $P$ और एक विषम सममित आव्यूह $Q$ के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $P = \frac{1}{2}(B + B')$ और $Q = \frac{1}{2}(B - B')$ है।
दिया गया है $B = \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right]$,इसका परिवर्त आव्यूह $B' = \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right]$ है।
$P = \frac{1}{2}(B + B') = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right] \right) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rrr}4 & -3 & -3 \\ -3 & 6 & 2 \\ -3 & 2 & -6\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}2 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 3 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -3\end{array}\right]$ की गणना करने पर।
चूंकि $P' = P$,इसलिए $P$ एक सममित आव्यूह है।
$Q = \frac{1}{2}(B - B') = \frac{1}{2} \left( \left[\begin{array}{rrr}2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 & 4 \\ 1 & -2 & -3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\ -2 & 3 & -2 \\ -4 & 4 & -3\end{array}\right] \right) = \frac{1}{2} \left[\begin{array}{rrr}0 & -1 & -5 \\ 1 & 0 & 6 \\ 5 & -6 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{rrr}0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$ की गणना करने पर।
चूंकि $Q' = -Q$,इसलिए $Q$ एक विषम सममित आव्यूह है।
अतः,$B = P + Q = \left[\begin{array}{rrr}2 & -\frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & 3 & 1 \\ -\frac{3}{2} & 1 & -3\end{array}\right] + \left[\begin{array}{rrr}0 & -\frac{1}{2} & -\frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} & 0 & 3 \\ \frac{5}{2} & -3 & 0\end{array}\right]$।