$\int e^{x} \sin x \, dx$ ज्ञात कीजिए।

माना $I = \int e^{x} \sin x \, dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) के सूत्र $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करते हुए,$u = \sin x$ और $dv = e^{x} \, dx$ लें। तब $du = \cos x \, dx$ और $v = e^{x}$ होगा।
$I = e^{x} \sin x - \int e^{x} \cos x \, dx$ ..........$(1)$
अब,पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करके $\int e^{x} \cos x \, dx$ का मान ज्ञात करें। $u = \cos x$ और $dv = e^{x} \, dx$ लें। तब $du = -\sin x \, dx$ और $v = e^{x}$ होगा।
$\int e^{x} \cos x \, dx = e^{x} \cos x - \int e^{x} (-\sin x) \, dx = e^{x} \cos x + \int e^{x} \sin x \, dx$
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = e^{x} \sin x - (e^{x} \cos x + I)$
$I = e^{x} \sin x - e^{x} \cos x - I$
$2I = e^{x} (\sin x - \cos x)$
$I = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) + C$