सदिश विधि का उपयोग करके दो समतलों 2x + y - 2z | vedclass

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Question

(A) दो समतलों के बीच का कोण $	heta$ उनके अभिलंब सदिशों $\vec{N_1}$ और $\vec{N_2}$ के बीच का कोण होता है।दिए गए समतलों के समीकरण $2x + y - 2z = 5$ और

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$	heta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}ight)$

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(A) दो समतलों के बीच का कोण $	heta$ उनके अभिलंब सदिशों $\vec{N_1}$ और $\vec{N_2}$ के बीच का कोण होता है।दिए गए समतलों के समीकरण $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ से,अभिलंब सदिश इस प्रकार हैं:$\vec{N_1} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$$\vec{N_2} = 3\hat{i} - 6\hat{j} - 2\hat{k}$दो समतलों के बीच के कोण का सूत्र $\cos 	heta = \left| \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| |\vec{N_2}|} ight|$ है।सबसे पहले,अदिश गुणनफल (dot product) की गणना करें: $\vec{N_1} \cdot \vec{N_2} = (2)(3) + (1)(-6) + (-2)(-2) = 6 - 6 + 4 = 4$.इसके बाद,परिमाण (magnitudes) की गणना करें:$|\vec{N_1}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$.$|\vec{N_2}| = \sqrt{3^2 + (-6)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 36 + 4} = \sqrt{49} = 7$.अतः,$\cos 	heta = \left| \frac{4}{3 	imes 7} ight| = \frac{4}{21}$.इस प्रकार,$	heta = \cos^{-1}\left(\frac{4}{21}ight)$।

सदिश विधि का उपयोग करके दो समतलों $2x + y - 2z = 5$ और $3x - 6y - 2z = 7$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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एक समतल का सदिश समीकरण क्या है जो मूल बिंदु से $5 \text{ इकाई}$ की दूरी पर है और सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ के अभिलंब है?

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