शीर्षों $(7,9), (10,8)$ और $(12,10)$ वाले त्रिभुज का परिकेंद्र और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना शीर्ष $A(7,9), B(10,8)$ और $C(12,10)$ हैं।
$1$. त्रिभुज का क्षेत्रफल: सूत्र $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ का उपयोग करने पर,$\text{Area} = \frac{1}{2} |7(8 - 10) + 10(10 - 9) + 12(9 - 8)| = \frac{1}{2} |-14 + 10 + 12| = \frac{1}{2} |8| = 4 \text{ वर्ग इकाई}$.
$2$. परिकेंद्र $(h, k)$: परिकेंद्र शीर्षों से समान दूरी पर होता है। अतः,$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$.
$(h-7)^2 + (k-9)^2 = (h-10)^2 + (k-8)^2$ को हल करने पर $6h - 2k = 32$ या $3h - k = 16$ प्राप्त होता है।
$(h-10)^2 + (k-8)^2 = (h-12)^2 + (k-10)^2$ को हल करने पर $4h + 4k = 84$ या $h + k = 21$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $4h = 37 \implies h = \frac{37}{4}$.
$h$ का मान रखने पर: $\frac{37}{4} + k = 21 \implies k = 21 - \frac{37}{4} = \frac{47}{4}$.
अतः,परिकेंद्र $(\frac{37}{4}, \frac{47}{4})$ है और क्षेत्रफल $4$ है।