ઉપવલય $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ માટે નાભિના યામ,શિરોબિંદુઓ,પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ,ગૌણ અક્ષની લંબાઈ,ઉત્કેન્દ્રતા અને નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

આપેલ સમીકરણ $36 x^{2}+4 y^{2}=144$ છે.
બંને બાજુ $144$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{36 x^{2}}{144} + \frac{4 y^{2}}{144} = 1$
$\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{36} = 1$
$\frac{x^{2}}{2^{2}} + \frac{y^{2}}{6^{2}} = 1$ ........ $(1)$
અહીં,$\frac{y^{2}}{6^{2}}$ નો છેદ $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ ના છેદ કરતા મોટો છે.
તેથી,પ્રધાન અક્ષ $y$-અક્ષ પર છે,જ્યારે ગૌણ અક્ષ $x$-અક્ષ પર છે.
સમીકરણ $(1)$ ને $\frac{x^{2}}{b^{2}} + \frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = 2$ અને $a = 6$ મળે છે.
$\therefore c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{36 - 4} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$.
તેથી:
નાભિના યામ $(0, \pm 4\sqrt{2})$ છે.
શિરોબિંદુઓના યામ $(0, \pm 6)$ છે.
પ્રધાન અક્ષની લંબાઈ $= 2a = 12$.
ગૌણ અક્ષની લંબાઈ $= 2b = 4$.
ઉત્કેન્દ્રતા,$e = \frac{c}{a} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.
નાભિલંબની લંબાઈ $= \frac{2b^{2}}{a} = \frac{2 \times 4}{6} = \frac{4}{3}$.