उस दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो दी गई शर्तों को संतुष्ट करता है: शीर्ष $(\pm 5, 0)$,नाभियाँ $(\pm 4, 0)$।

रेखा $y = mx + c$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का अभिलंब है,यदि $c = $

रेखा $x = 8$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नियता (directrix) है और इसकी संगत नाभि (focus) $(2, 0)$ है। यदि प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा बिंदु $(0, 4\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष को $Q$ पर काटती है,तो $(3PQ)^2$ का मान $........$ है।

मान लीजिए कि रेखा $y=mx$ और दीर्घवृत्त $2x^{2}+y^{2}=1$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि इस दीर्घवृत्त के बिंदु $P$ पर अभिलंब निर्देशांक अक्षों को $(-\frac{1}{3\sqrt{2}}, 0)$ और $(0, \beta)$ पर मिलता है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियों और लघु अक्ष के सिरों को मिलाने वाली सरल रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है,तो इसकी उत्केंद्रता क्या है?

रेखा $lx + my - n = 0$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्शरेखा होगी,यदि