निम्नलिखित समाकलन ज्ञात कीजिए: $\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x$

हमें समाकलन $\int\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} d x$ दिया गया है।
सबसे पहले,बीजगणितीय सर्वसमिका $(a-b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab$ का उपयोग करके वर्ग का विस्तार करें:
$\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} = (\sqrt{x})^{2} + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} - 2(\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) = x + \frac{1}{x} - 2$.
अब,इस मान को समाकलन में वापस रखें:
$\int\left(x+\frac{1}{x}-2\right) d x$.
समाकलन के रैखिकता गुण का उपयोग करके,हम इसे तीन अलग-अलग समाकलनों में विभाजित कर सकते हैं:
$\int x \, d x + \int \frac{1}{x} \, d x - 2 \int 1 \, d x$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर:
$\int x \, d x = \frac{x^{2}}{2}$,
$\int \frac{1}{x} \, d x = \log |x|$,
$-2 \int 1 \, d x = -2x$.
इन परिणामों को संयोजित करने और समाकलन स्थिरांक $C$ को जोड़ने पर:
$\frac{x^{2}}{2} + \log |x| - 2x + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।