વિકલ સમીકરણ x log x frac{dy}{dx} + y = frac{2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ છે. બંને બાજુ $x \log x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \f

Vedclass · Accepted Answer

$y \log x = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ છે. બંને બાજુ $x \log x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = \frac{2}{x^2}$ મળે. આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{x \log x}$ અને $Q = \frac{2}{x^2}$ છે. વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $I.F. = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} dx} = e^{\log(\log x)} = \log x$ થાય. વ્યાપક ઉકેલનું સૂત્ર $y(I.F.) = \int (Q 	imes I.F.) dx + C$ છે. કિંમતો મૂકતા: $y \log x = \int \left( \frac{2}{x^2} \log x ight) dx + C$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int \frac{2 \log x}{x^2} dx$ માટે,$u = \log x$ અને $dv = \frac{2}{x^2} dx$ લેતા,$du = \frac{1}{x} dx$ અને $v = -\frac{2}{x}$ મળે. $\int u dv = uv - \int v du = (\log x)(-\frac{2}{x}) - \int (-\frac{2}{x}) \cdot \frac{1}{x} dx$. $= -\frac{2 \log x}{x} + 2 \int x^{-2} dx = -\frac{2 \log x}{x} + 2(-\frac{1}{x}) = -\frac{2}{x}(\log x + 1)$. આમ,વ્યાપક ઉકેલ $y \log x = -\frac{2}{x}(1 + \log x) + C$ છે.

વિકલ સમીકરણ $x \log x \frac{dy}{dx} + y = \frac{2}{x} \log x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

ધારો કે એક વિકલનીય વિધેય $f$ એ $f(x) + \int_{3}^{x} \frac{f(t)}{t} dt = \sqrt{x+1}$ શરતનું પાલન કરે છે,જ્યાં $x \geq 3$. તો $12f(8)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - 2\frac{y}{x} = x^3$ નો ઉકેલ શોધો:

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x^3 dy + (xy - 1) dx = 0, x > 0$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(\frac{1}{2}) = 3 - e$ છે. તો $y(1)$ ની કિંમત શોધો.

$x \in R$ માટે,ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(2)=7$ છે. $y(x)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module