समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ में $\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु का प्रतिबिंब ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना दिया गया बिंदु $P(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})$ है और $Q$ समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ में $P$ का प्रतिबिंब है।
अतः $PQ$ समतल पर लंब है। चूँकि $PQ$,$P$ से होकर गुजरता है और दिए गए समतल पर लंब है,इसलिए रेखा $PQ$ का समीकरण $\vec{r}=(\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k})+\lambda(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$ द्वारा दिया जाता है।
चूँकि $Q$ रेखा $PQ$ पर स्थित है,$Q$ का स्थिति सदिश $(1+2 \lambda) \hat{i}+(3-\lambda) \hat{j}+(4+\lambda) \hat{k}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
माना $R$ रेखा $PQ$ और समतल का प्रतिच्छेदन बिंदु है। चूँकि $R$,$PQ$ का मध्य बिंदु है,$R$ का स्थिति सदिश $\frac{[(1+2 \lambda) \hat{i}+(3-\lambda) \hat{j}+(4+\lambda) \hat{k}]+[\hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}]}{2} = (1+\lambda) \hat{i} + (3-\frac{\lambda}{2}) \hat{j} + (4+\frac{\lambda}{2}) \hat{k}$ है।
चूँकि $R$ समतल $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+3=0$ पर स्थित है,हमारे पास है:
$[(1+\lambda) \hat{i} + (3-\frac{\lambda}{2}) \hat{j} + (4+\frac{\lambda}{2}) \hat{k}] \cdot (2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) + 3 = 0$
$2(1+\lambda) - (3-\frac{\lambda}{2}) + (4+\frac{\lambda}{2}) + 3 = 0$
$2+2\lambda - 3 + \frac{\lambda}{2} + 4 + \frac{\lambda}{2} + 3 = 0$
$3\lambda + 6 = 0 \Rightarrow \lambda = -2$.
$Q$ के व्यंजक में $\lambda = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$Q = (1+2(-2)) \hat{i} + (3-(-2)) \hat{j} + (4+(-2)) \hat{k}$
$Q = -3 \hat{i} + 5 \hat{j} + 2 \hat{k}$.