यदि int cos ^k(x) sin (x) d x = frac{-1}{4} c | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन: $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$.माना $I = \int \cos ^k(x) \sin (x) d x$.$t = \cos x$ प्रतिस्थापित कर

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$3$

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(B) दिया गया समाकलन: $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$.माना $I = \int \cos ^k(x) \sin (x) d x$.$t = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -\sin x d x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\sin x d x = -dt$.इन मानों को समाकलन में रखने पर:$I = \int t^k (-dt) = -\int t^k dt$.$t^k$ का $t$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:$I = -\frac{t^{k+1}}{k+1} + C$.$t = \cos x$ वापस रखने पर:$I = -\frac{\cos^{k+1} x}{k+1} + C$.इसकी तुलना दिए गए व्यंजक $\frac{-1}{4} \cos^4(x) + C$ से करने पर:$\frac{1}{k+1} = \frac{1}{4}$ और $k+1 = 4$.अतः,$k = 3$.

यदि $\int \cos ^k(x) \sin (x) d x = \frac{-1}{4} \cos ^4(x) + C$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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