x in R के लिए,मान लीजिए कि फलन y(x) अवकल समीक | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 12$ और $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)$ है।समाकल

Vedclass · Accepted Answer

एक ऐसी वास्तविक संख्या $\beta$ मौजूद है कि रेखा $y = \beta$ वक्र $y = y(x)$ को अनंत बिंदुओं पर काटती है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 12$ और $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} xight)$ है।समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int 12 dx} = e^{12x}$ है।व्यापक हल $y \cdot e^{12x} = \int e^{12x} \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) dx + C$ है।सूत्र $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx))$ का उपयोग करने पर:$y \cdot e^{12x} = \frac{e^{12x}}{12^2 + (\frac{\pi}{12})^2} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight)ight) + C$.सरल करने पर,$y = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight)ight) + C e^{-12x}$.चूँकि $y(0) = 0$ दिया गया है,हमारे पास $0 = \frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}} + C$ है,इसलिए $C = -\frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}}$.अतः,$y(x) = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} xight) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} xight) - 12 e^{-12x}ight)$.जैसे-जैसे $x 	o \infty$,$e^{-12x} 	o 0$,इसलिए $y(x)$ एक आवर्ती फलन $f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{12} x - \phiight)$ की ओर अग्रसर होता है।चूँकि $y(x)$ एक आवर्ती फलन की ओर अग्रसर होता है,इसलिए इस आवर्ती फलन के परिसर में स्थित किसी मान $\beta$ के लिए,रेखा $y = \beta$ वक्र $y = y(x)$ को अनंत बिंदुओं पर काटेगी। अतः,कथन $C$ $TRUE$ है।

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मान लीजिए कि $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 + 1)^2 \frac{dy}{dx} + 2x(x^2 + 1)y = 1$ का हल है,जहाँ $y(0) = 0$ है। यदि $\sqrt{a} y(1) = \frac{\pi}{32}$ है,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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