a, b, c, d in R के लिए, यदि z_1 = a + ib और z | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $|z_1| = |z_2| = 1$, हम $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ और $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ लिख सकते हैं।$\operatorname{Re}(z_

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$\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = 0$

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(A) दिया गया है कि $|z_1| = |z_2| = 1$, हम $z_1 = \cos \alpha + i \sin \alpha$ और $z_2 = \cos \beta + i \sin \beta$ लिख सकते हैं।$\operatorname{Re}(z_1 \bar{z}_2) = ac + bd = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha - \beta) = 0$.इसका अर्थ है कि $\alpha - \beta = \pm \frac{\pi}{2}$.अब, $w_1 = a + ic = \cos \alpha + i \cos \beta$ और $w_2 = b + id = \sin \alpha + i \sin \beta$ के लिए, हम $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = ab + cd$ की गणना करते हैं।$\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = \cos \alpha \sin \alpha + \cos \beta \sin \beta = \frac{1}{2}(\sin 2\alpha + \sin 2\beta)$.योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करने पर, $\frac{1}{2}(2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta))$.चूंकि $\cos(\alpha - \beta) = \cos(\pm \frac{\pi}{2}) = 0$, इसलिए व्यंजक का मान $0$ है।अतः, $\operatorname{Re}(w_1 \bar{w}_2) = 0$.

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