एक वास्तविक संख्या x के लिए,मान लीजिए [x] उस | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,इसलिए हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \sum_{k=1}^{n-

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$91$

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(D) मान लीजिए $I = \int_1^n [x]\{x\} dx$.चूंकि $x \in [k, k+1)$ के लिए $[x] = k$ होता है,इसलिए हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:$I = \sum_{k=1}^{n-1} \int_k^{k+1} k\{x\} dx = \sum_{k=1}^{n-1} k \int_k^{k+1} (x-k) dx$.मान लीजिए $u = x-k$,तो $du = dx$ होगा। जब $x=k, u=0$ और जब $x=k+1, u=1$ होगा।अतः,$\int_k^{k+1} (x-k) dx = \int_0^1 u du = \left[ \frac{u^2}{2} ight]_0^1 = \frac{1}{2}$.इस प्रकार,$I = \sum_{k=1}^{n-1} k \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{1}{2} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = \frac{n(n-1)}{4}$.हमें दिया गया है कि $I > 2013$,इसलिए $\frac{n(n-1)}{4} > 2013$.$n(n-1) > 8052$.चूंकि $90 	imes 89 = 8010$ और $91 	imes 90 = 8190$ होता है,इसलिए असमिका को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा पूर्णांक $n = 91$ है।

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