int_0^1 (1+x) log (1+x) , dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x)$ और $dv = (1+x) \, dx$ लें। तब

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$\frac{-3}{4} + 2 \log 2$

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(D) माना $I = \int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x)$ और $dv = (1+x) \, dx$ लें। तब $du = \frac{1}{1+x} \, dx$ और $v = \frac{(1+x)^2}{2}$ प्राप्त होता है। $I = \left[ \frac{(1+x)^2}{2} \log(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{(1+x)^2}{2} \cdot \frac{1}{1+x} \, dx$ $I = \left[ \frac{4}{2} \log 2 - 0 \right] - \frac{1}{2} \int_0^1 (1+x) \, dx$ $I = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left[ x + \frac{x^2}{2} \right]_0^1$ $I = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} \right) = 2 \log 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)$ $I = 2 \log 2 - \frac{3}{4} = \frac{-3}{4} + 2 \log 2$.

$\int_0^1 (1+x) \log (1+x) \, dx =$

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मान लीजिए $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $F(x)=\int_0^x t f(t) d t$ है। यदि $F(x^2)=x^4+x^5$ है,तो $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

निश्चित समाकलन $\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए कि $f$ एक बहुपद फलन है, इस प्रकार कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(x^{2}+1)=x^{4}+5x^{2}+2$ है। तो $\int_{0}^{3} f(x) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{a-c}^{b-c} f(x+c) \, dx = $

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