मान लीजिए f:(0, infty) rightarrow mathbb{R} औ | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $F(x) = \int_0^x t f(t) dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x f(x)$।दिया गया है $F(x^2) = x^4 + x^5$। मान लीजिए $u = x^2$,तो

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$219$

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(C) दिया गया है $F(x) = \int_0^x t f(t) dt$। कलन के मूलभूत प्रमेय के अनुसार,$F'(x) = x f(x)$।दिया गया है $F(x^2) = x^4 + x^5$। मान लीजिए $u = x^2$,तो $F(u) = u^2 + u^{5/2}$।$u$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $F'(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$ प्राप्त होता है।चूंकि $F'(u) = u f(u)$,इसलिए $u f(u) = 2u + \frac{5}{2} u^{3/2}$।$u$ से भाग देने पर,हमें $f(u) = 2 + \frac{5}{2} u^{1/2}$ प्राप्त होता है।हमें $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ का मान ज्ञात करना है। $u = r^2$ रखने पर,$f(r^2) = 2 + \frac{5}{2} (r^2)^{1/2} = 2 + \frac{5}{2} r$।अतः,$\sum_{r=1}^{12} f(r^2) = \sum_{r=1}^{12} (2 + \frac{5}{2} r) = \sum_{r=1}^{12} 2 + \frac{5}{2} \sum_{r=1}^{12} r$।$= 2(12) + \frac{5}{2} \left( \frac{12 	imes 13}{2} ight) = 24 + \frac{5}{2} (78) = 24 + 5(39) = 24 + 195 = 219$।

मान लीजिए $f:(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ और $F(x)=\int_0^x t f(t) d t$ है। यदि $F(x^2)=x^4+x^5$ है,तो $\sum_{r=1}^{12} f(r^2)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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मान लीजिए $f(x) = |x - 2|$ और $g(x) = f(f(x))$,$x \in [0, 4]$ है। तो $\int_{0}^{3} (g(x) - f(x)) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$ और $\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{2A}{\pi}$ है,तो स्थिरांक $A$ और $B$ क्रमशः क्या हैं?

निश्चित समाकलन $\int_{-1}^{2} \left[ \frac{[x]}{1 + x^2} \right] dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन $(GIF)$ को दर्शाता है।

निम्नलिखित समाकल का मान ज्ञात कीजिए: $\int_{2}^{3} x^{2} dx$

यदि $\int_1^2 \frac{dx}{(x^2-2x+4)^{\frac{3}{2}}} = \frac{k}{k+5}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

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