$n$ के पर्याप्त बड़े मान के लिए,प्रथम $n$ धनात्मक पूर्णांकों के वर्गमूलों का योग,अर्थात $\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \dots + \sqrt{n}$,लगभग किसके बराबर है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

दिया गया है कि $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n p} f\left(\frac{r}{n}\right)=\int_0^p f(x) d x$. यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x^2+2$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{n}\left[f\left(\frac{7}{n}\right)+f\left(\frac{14}{n}\right)+f\left(\frac{21}{n}\right)+\ldots+f(7)\right]=$

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{e^{1 / n}}+\frac{1}{e^{2 / n}}+\frac{1}{e^{3 / n}}+\ldots+\frac{1}{e^{2n/n}}\right)=$

मान लीजिए $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \left( \frac{n}{\sqrt{n^4+r^4}} - \frac{2 n r^2}{(n^2+r^2) \sqrt{n^4+r^4}} \right) = \frac{\pi}{k}.$ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मानों का उपयोग करते हुए,$k^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left\{\frac{1}{n+m}+\frac{1}{n+2 m}+\frac{1}{n+3 m}+\ldots+\frac{1}{n+n m}\right\}=$