બધા $n \ge 1$ માટે,સાબિત કરો કે: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$

ધારો કે $P(n)$ એ વિધાન છે: $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \ldots + \frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,ડાબી બાજુ $\frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{2}$ છે અને જમણી બાજુ $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$ છે. ડાબી બાજુ = જમણી બાજુ હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} = \frac{k}{k+1}$ $(1)$.
પગલું $3$: આપણે સાબિત કરવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $\frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} + \frac{1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
$P(k+1)$ ની ડાબી બાજુથી શરૂ કરતા:
$= \left[ \frac{1}{1 \times 2} + \ldots + \frac{1}{k(k+1)} \right] + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$
$= \frac{k}{k+1} + \frac{1}{(k+1)(k+2)}$ ($(1)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$= \frac{k(k+2) + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{k^2 + 2k + 1}{(k+1)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)} = \frac{k+1}{k+2}$.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત મુજબ,$P(n)$ એ બધા $n \ge 1$ માટે સત્ય છે.